Cho X {\displaystyle X} là một biến ngẫu nhiên với hàm phân phối (cdf) F X {\displaystyle F_{X}} . Hàm sinh mô men (mgf) của X {\displaystyle X} (hay của F X {\displaystyle F_{X}} ), ký hiệu M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)} , được định nghĩa là

M X ( t ) = E ⁡ [ e t X ] {\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]}

với điều kiện là kỳ vọng này tồn tại cho mỗi điểm t {\displaystyle t} trong một lân cận của 0. Tức là, tồn tại số h > 0 {\displaystyle h>0} sao cho với mọi t {\displaystyle t} trên khoảng − h < t < h {\displaystyle -h<t<h} , E ⁡ [ e t X ] {\displaystyle \operatorname {E} \left[e^{tX}\right]} tồn tại. Nếu kỳ vọng không tồn tại trong một lân cận của điểm 0, ta nói rằng hàm sinh mô men không tồn tại.[1]

Nói cách khác, hàm sinh mô men của X chính là kỳ vọng của biến ngẫu nhiên e t X {\displaystyle e^{tX}} . Tổng quát hơn, nếu X = ( X 1 , … , X n ) T {\displaystyle \mathbf {X} =(X_{1},\ldots ,X_{n})^{\mathrm {T} }} , hay với một vectơ ngẫu nhiên n {\displaystyle n} -chiều, và t {\displaystyle \mathbf {t} } là một vectơ cố định, ta sử dụng tích vô hướng t ⋅ X = t T X {\displaystyle \mathbf {t} \cdot \mathbf {X} =\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} } thay vì  t X {\displaystyle tX} :

M X ( t ) := E ⁡ ( e t T X ) . {\displaystyle M_{\mathbf {X} }(\mathbf {t} ):=\operatorname {E} \left(e^{\mathbf {t} ^{\mathrm {T} }\mathbf {X} }\right).}

M X ( 0 ) {\displaystyle M_{X}(0)} luôn tồn tại và bằng 1. Tuy nhiên một vấn đề quan trọng với hàm sinh mô men đó là các mô men và hàm sinh mô men có thể không tồn tại, vì các tích phân không nhất thiết phải hội tụ tuyệt đối. Trong khi đó, hàm đặc trưng hay biến đổi Fourier của hàm mật độ luôn tồn tại (do nó là tích phân của một hàm bị chặn trên một không gian với độ đo hữu hạn), và có thể thay vào đó được sử dụng cho một số mục đích.

Hàm sinh mô men có tên như vậy bởi vì nó có thể được sử dụng để tìm các mô men của phân phối.[2] Khai triển chuỗi của e t X {\displaystyle e^{tX}} là

e t X = 1 + t X + t 2 X 2 2 ! + t 3 X 3 3 ! + ⋯ + t n X n n ! + ⋯ . {\displaystyle e^{t\,X}=1+t\,X+{\frac {t^{2}\,X^{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}\,X^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}\,X^{n}}{n!}}+\cdots .}

Từ đó ta có

M X ( t ) = E ⁡ ( e t X ) = 1 + t E ⁡ ( X ) + t 2 E ⁡ ( X 2 ) 2 ! + t 3 E ⁡ ( X 3 ) 3 ! + ⋯ + t n E ⁡ ( X n ) n ! + ⋯ = 1 + t m 1 + t 2 m 2 2 ! + t 3 m 3 3 ! + ⋯ + t n m n n ! + ⋯ , {\displaystyle {\begin{aligned}M_{X}(t)=\operatorname {E} (e^{t\,X})&=1+t\operatorname {E} (X)+{\frac {t^{2}\operatorname {E} (X^{2})}{2!}}+{\frac {t^{3}\operatorname {E} (X^{3})}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}\operatorname {E} (X^{n})}{n!}}+\cdots \\&=1+tm_{1}+{\frac {t^{2}m_{2}}{2!}}+{\frac {t^{3}m_{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {t^{n}m_{n}}{n!}}+\cdots ,\end{aligned}}}

trong đó m n {\displaystyle m_{n}} là mô men cấp n {\displaystyle n} . Lấy đạo hàm M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)} i {\displaystyle i} lần theo biến t {\displaystyle t} và đặt t = 0 {\displaystyle t=0} , ta nhận được mô men cấp thứ i {\displaystyle i} quanh điểm gốc, m i {\displaystyle m_{i}} .

Nếu X {\displaystyle X} là một biến ngẫu nhiên liên tục, quan hệ sau đây giữa hàm sinh mô men của nó M X ( t ) {\displaystyle M_{X}(t)} và biến đổi Laplace hai phía của hàm mật độ xác suất của nó f X ( x ) {\displaystyle f_{X}(x)} được thỏa mãn:

M X ( t ) = L { f X } ( − t ) , {\displaystyle M_{X}(t)={\mathcal {L}}\{f_{X}\}(-t),}

bởi biến đổi Laplace hai phía của hàm mật độ được cho bằng

L { f X } ( s ) = ∫ − ∞ ∞ e − s x f X ( x ) d x , {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f_{X}\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-sx}f_{X}(x)\,dx,}

và hàm sinh mô men được định nghĩa mở rộng (bởi luật hàm biến ngẫu nhiên) là

M X ( t ) = E ⁡ [ e t X ] = ∫ − ∞ ∞ e t x f X ( x ) d x . {\displaystyle M_{X}(t)=\operatorname {E} \left[e^{tX}\right]=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f_{X}(x)\,dx.}

Hàm đặc trưng φ X ( t ) {\displaystyle \varphi _{X}(t)} có liên hệ sau với hàm sinh mô men: φ X ( t ) = M i X ( t ) = M X ( i t ) : {\displaystyle \varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(it):} hàm đặc trưng chính là hàm sinh mô men của iX hay hàm sinh mô men của X khi được tính trên trục ảo.